Fisica 2: Tarea Grediante, divergente y rot.

11 de septiembre de 2008

Tarea Grediante, divergente y rot.

1> Calcular el gradiente de la funcion:

a) f(x,y)= $4x^2-3xy+y^2$

$f^{\prime}x=8x-3y$

$f^{\prime}y=-3x+2y$

$vf=(8x-3yi)-(-3x+2yj)$

b) f(x,y,z)= $\frac{x-y}{x+z}$

$f^{\prime}x=\frac{x+z(\frac{d}{dx}x-y)-[x-y(\frac{d}{dx}x+z)]}{x+2^2}$

$f^{\prime}x=\frac{[x+z(1)]-[x-y(1)}{x+z^2}$

= $\frac{z+y}{x+z^2} i$

$f^{\prime}y=\frac{x}{x+z}-\frac{y}{x+z}$

$=\frac{[x+z(-y)^{\prime})]-[y(x+z)^{\prime}]}{(x+z)^2}$

$=\frac{-1}{x+z^2} j$

$f^{\prime}z=\frac{[(x+z)(x-y)^{\prime}]-[(x-y)(x+z)^{\prime}]}{x+z^2}$

$=\frac{-x+y}{x+z^2}k$

$vf=[\frac{z+y}{x+z^2}i]+[-\frac{1}{x+z^2}j]+[\frac{-x+y}{x+z^2}k]$

2> Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial f

a) $f(x,y,z)= 6x^2i-xy^2j$

div f(x,y,z) = 12x-x2y

$rot vxf=\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{12x}&{-x2y}&{0}\\{6x^2}&{-xy^2}&{0}\end{bmatrix}$

$=oi-0j+{[(12x)(-xy^2)]-[(-x^2 y)(6x^2)]}k$

$=[-12x^2 y^2-(-6x^3 2y)]k$

$=0i+0j+(-12x^2 y^2 +6x^3 2y)k$

b) $F(x,y,z)= senxi+cos y j+z^2 k$

$Div f (x,y,z)=cos x+(-seny)+2z$

$rot vxf=\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{cosx}&{-seny}&{2z}\\{senx}&{cosy}&{z^2}\end{bmatrix}$

$={[-seny(z^2)-(2z)(cosy]i}-{[(cosx)(z^2)-(2z)(senx)]j}+{[cosxcosy-(-senysenx)]k}$

c) $F(x,y,z)=e^x seny i-e^x cos x j$ en el punto (0,0,3)

$div=e^x sen y$

$rotvxf=\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{e^x seny}&{0}&{0}\\{e^x sen y}&{-e^x cos x}&{o}\end{bmatrix}$

$=0i-oj+(-e^x sen y e^x cos x)k$

$=0i-oj+(-e^0sen 0 e^0 cos 0)k$

(0,0,0)

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